Головна > Мікрохвильові печі > Теорія графів: основні поняття та завдання. Графи як структура даних


Теорія графів: основні поняття та завдання. Графи як структура даних




Формат графічного файлу- Це спосіб представлення графічних даних на зовнішньому носії. Розрізняють растрові та векторні форматиграфічних файлів, серед яких, у свою чергу, виділяють універсальні графічні форматиі власні (оригінальні) формати графічних додатків .

Універсальні графічні формати «розуміються» всіма програмами, що працюють з растровою (векторною) графікою.

Універсальним растровим графічним форматом є формат BMP. Графічні файли у цьому форматі мають великий інформаційний обсяг, тому що в них на зберігання інформації про колір кожного пікселя відводиться 24 біти.

У малюнках, збережених в універсальному растровому форматі GIF , можна використовувати лише 256 різних кольорів. Така палітра підходить для простих ілюстрацій та піктограм. Графічні файли цього формату мають невеликий інформаційний обсяг. Це особливо важливо для графіки, яка використовується в Всесвітнього павутиннякористувачам якої бажано, щоб запитана ними інформація з'явилася на екрані якнайшвидше.

Універсальний растровий формат JPEGрозроблений спеціально для ефективного зберігання зображень фотографічної якості. Сучасні комп'ютери забезпечують відтворення понад 16 мільйонів кольорів, більшість з яких людським оком просто невиразні. Формат JPEG дозволяє відкинути "надлишкове" для людського сприйняття різноманітність кольорів сусідніх пікселів. Частина вихідної інформації при цьому губиться, але це забезпечує зменшення інформаційного об'єму (стиснення) графічного файлу. Користувачеві надається можливість самому визначати ступінь стиснення файлу. Якщо зображення, що зберігається — фотографія, яку передбачається роздрукувати на аркуші великого формату, то втрати інформації небажані. Якщо ж це фото - знімок буде розміщений на Web-сторінці, то його можна сміливо стискати в десятки разів: інформації, що залишилася, буде достатньо для відтворення зображення на екрані монітора.

До універсальних векторних графічних форматів відноситься формат WMF, що використовується для зберігання колекції зображень Microsoft.

Універсальний формат EPSдозволяє зберігати інформацію як про растровий, так і про векторну графіку. Його часто використовують для імпорту файлів до програм підготовки поліграфічної продукції.

З власними форматами ви познайомитеся безпосередньо під час роботи з графічними програмами. Вони забезпечують найкраще співвідношення якості зображення та інформаційного об'єму файлу, але підтримуються (тобто розпізнаються і відтворюються) тільки самим додатком, що створює файл.

Завдання 1.
Для кодування одного пікселя використовується 3 байти. Фотографію розміром 2048 х 1536 пікселів зберегли як несжатого файла. Визначте розмір файлу, що вийшов.

Рішення:
i = 3 байти
K = 2048 1536
I -?

I=K i
I = 2048 1536 3 = 2 2 10 1,5 2 10 3 = 9 2 20 (байтів) = 9 (Мб).

Відповідь: 9Мб.

Завдання 2.
Нестиснене растрове зображеннярозміром 128 х 128 пікселів займає 2 Кб пам'яті. Якою є максимально можлива кількість кольорів на панелі зображення?

Рішення:
K = 128128
I = 2 Кб
N -?

I=K i
i=I/K
N=2 i
i = (2 1024 8)/(128 128) = (2 2 10 2 3) /(2 7 2 7) = 2 1+10+3 /2 7+7 = 2 14 /2 14 = 1 (біт) .
N = 2 1 = 2.

Відповідь: 2 кольори - чорний і білий.

Найголовніше:

  • Формат графічного файлу - це спосіб представлення графічних даних на зовнішньому носії. Розрізняють растрові та векторні формати графічних файлів, серед яких, у свою чергу, виділяють універсальні графічні формати та власні формати графічних додатків.

Ключові слова:

  • графічний об'єкт
  • комп'ютерна графіка
  • растрова графіка
  • векторна графіка
  • формати графічних файлів

Малюнки, картини, креслення, фотографії та інші графічні зображення називатимемо графічними об'єктами.

3.2.1. Сфери застосування комп'ютерної графіки

Комп'ютерна графіка міцно увійшла до нашого повсякденного життя. Вона застосовується:

  • для наочного подання результатів вимірювань та спостережень (наприклад, даних про кліматичні зміни за тривалий період, про динаміку популяцій тваринного світу, про екологічний стан різних регіонів тощо), результатів соціологічних опитувань, планових показників, статистичних даних, результатів ультразвукових досліджень у медицині тощо;
  • при розробці дизайнів інтер'єрів та ландшафтів, проектуванні нових споруд, технічних пристроївта інших виробів;
  • у тренажерах та комп'ютерних іграх для імітації різноманітних ситуацій, що виникають, наприклад, при польоті літака або космічного апарату, русі автомобіля тощо;
  • при створенні різноманітних спецефектів у кіноіндустрії;
  • при розробці сучасних інтерфейсів користувача програмного забезпеченнята мережевих інформаційних ресурсів;
  • для творчого самовираження людини (цифрова фотографія, цифровий живопис, комп'ютерна анімаціяі т.д.).

Приклади комп'ютерної графіки показано на рис. 3.5.

Рис. 3.5.
Приклади комп'ютерної графіки

  • http://snowflakes.barkleyus.com/ - за допомогою комп'ютерних інструментів ви можете «вирізати» будь-яку сніжинку;
  • http://www.pimptheface.com/create/ - можна створити особу, користуючись великою бібліотекою губ, очей, брів, зачісок та інших фрагментів;
  • http://www.ikea.com/ms_RU/rooms_ideas/yoth/index.html - спробуйте підібрати нові меблі та оздоблювальні матеріали для своєї кімнати.

3.2.2. Способи створення цифрових графічних об'єктів

Графічні об'єкти, створені або оброблені комп'ютером, зберігаються на комп'ютерних носіях; при необхідності вони можуть бути виведені на папір або інший відповідний носій (плівку, картон, тканину тощо).

Графічні об'єкти на комп'ютерних носіях називатимемо цифровими графічними об'єктами.

Існує кілька способів отримання цифрових об'єктів.

  1. копіювання готових зображень з цифрової фотокамери, пристроїв зовнішньої пам'яті або «завантаження» їх з Інтернету;
  2. введення графічних зображень, що існують на паперових носіях за допомогою сканера;
  3. створення нових графічних зображень за допомогою програмного забезпечення.

Принцип роботи сканера полягає в тому, щоб розбити наявне на паперовому носії зображення на крихітні квадратики - пікселі, визначити колір кожного пікселя і зберегти його в двійковому коді пам'яті комп'ютера.

Якість отриманого в результаті сканування зображення залежить від розмірів пікселя: чим менше пікселів, тим більше пікселів буде розбито вихідне зображення і тим більше повна інформація про зображення буде передана в комп'ютер.

Розміри пікселя залежать від роздільної здатності сканера, яка зазвичай виражається в dpi (dot per inch - точок на дюйм 1) і задається парою чисел (наприклад, 600 х 1200 dpi). Перше число - це кількість пікселів, які можуть бути виділені сканером у рядку зображення довжиною 1 дюйм. Друге число - кількість рядків, на які може бути розбита смужка зображення заввишки один дюйм.

    1 Дюйм – одиниця довжини в англійській системі заходів, що дорівнює 2,54 см.

Завдання. Сканується кольорове зображення розміром 10 х 10 см. Роздільна здатність сканера 1200 х 1200 dpi, глибина кольору - 24 біти. Який інформаційний обсяг матиме отриманий графічний файл?

Рішення. Розміри сканованого зображення становлять приблизно 4x4 дюйми. З урахуванням роздільної здатності сканера все зображення буде розбито на 4 4 1200 1200 пікселів.

Відповідь: приблизно 66 Мбайт.

Рекомендуємо вам переглянути анімації «Сканери: загальні принципироботи», «Сканери: планшетний сканер», які розміщені в Єдиній колекції цифрових освітніх ресурсів (http://school-collection.edu.ru/). Ці ресурси допоможуть вам повніше уявити, як відбувається процес сканування. Ресурс "Цифрова фотокамера" проілюструє, як виходять цифрові фотографії (рис. 3.6).

Рис. 3.6.
Планшетний сканер та цифрова фотокамера

3.2.3. Растрова та векторна графіка

Залежно від способу створення графічного зображення розрізняють растрову, векторну та фрактальну графіку.

Растрова графіка

У растрової графіці зображення формується у вигляді растру - сукупності точок (пікселів), що утворюють рядки та стовпці. Кожен піксель може приймати будь-який колір із палітри, що містить мільйони кольорів. Точність кольору - основна перевага растрових графічних зображень. При збереженні растрового зображення в пам'яті комп'ютера зберігається інформація про колір кожного пікселя, що входить до нього.

Якість растрового зображення зростає зі збільшенням кількості пікселів у зображенні та кількості кольорів на панелі. У цьому зростає й інформаційний обсяг зображення. Великий інформаційний обсяг - один із основних недоліків растрових зображень.

Наступний недолік растрових зображень пов'язаний із деякими труднощами при їх масштабуванні. Так, при зменшенні растрового зображення кілька сусідніх пікселів перетворюються на один, що веде до втрати чіткості дрібних деталей зображення. При збільшенні растрового зображення до нього додаються нові пікселі, при цьому сусідні пікселі приймають однаковий колір і виникає ступінчастий ефект (рис. 3.7).

Рис. 3.7.
Растрове зображення та його збільшений фрагмент

Растрові графічні зображення рідко створюють вручну. Найчастіше їх одержують шляхом сканування підготовлених художниками ілюстрацій чи фотографій; Останнім часом для введення растрових зображень на комп'ютер широко застосовуються цифрові фотокамери.

Векторна графіка

Багато графічних зображень можуть бути представлені у вигляді сукупності відрізків, кіл, дуг, прямокутників та інших геометричних фігур. Наприклад, зображення на рис. 3.8 складається з кіл, відрізків та прямокутника.

Рис. 3.8.
Зображення з кіл, відрізків та прямокутника

Кожна з цих фігур може бути описана математично: відрізки та прямокутники – координатами своїх вершин, кола – координатами центрів та радіусами. Крім того, можна задати товщину та колір ліній, колір заповнення та інші властивості геометричних фігур. У векторній графіці зображення формуються на основі таких наборів даних (векторів), що описують графічні об'єкти та формул їх побудови. При збереженні векторного зображення в пам'ять комп'ютера заноситься інформація про найпростіші геометричні об'єкти, що його складають.

Інформаційні обсяги векторних зображень значно менші за інформаційні обсяги растрових зображень. Наприклад, для зображення кола засобами растрової графіки потрібна інформація про всі пікселі квадратної області, в яку вписано коло; для зображення кола засобами векторної графіки потрібні лише координати однієї точки (центру) та радіус.

Ще одна перевага векторних зображень - можливість їх масштабування без втрати якості (рис. 3.9). Це з тим, що з кожному перетворенні векторного об'єкта старе зображення видаляється, а замість нього за наявними формулами будується нове, але з урахуванням змінених даних.

Рис. 3.9.
Векторне зображення, його перетворений фрагмент та найпростіші геометричні фігури, з яких «зібраний» цей фрагмент

Разом про те, не всяке зображення можна як сукупність простих геометричних фігур. Такий спосіб подання хороший для креслень, схем, ділової графіки та інших випадках, де особливе значення має збереження чітких і зрозумілих контурів зображень.

Фрактальна графіка, як і векторна, ґрунтується на математичних обчисленнях. Але, на відміну векторної графіки, у пам'яті комп'ютера зберігаються не описи геометричних фігур, складових зображення, а сама математична формула (рівняння), якою будується изображение. Фрактальні зображення різноманітні та химерні (рис. 3.10).

Рис. 3.10.
Фрактальна графіка

Більш повну інформацію з цього питання ви зможете знайти в Інтернеті (наприклад, за адресою http://ua.wikipedia.org/wiki/Фрактал).

3.2.4. Формати графічних файлів

Формат графічного файлу – це спосіб представлення графічних даних на зовнішньому носії. Розрізняють растрові та векторні формати графічних файлів, серед яких, у свою чергу, виділяють універсальні графічні формати та власні (оригінальні) формати графічних додатків.

Універсальні графічні формати «розуміються» всіма програмами, що працюють з растровою (векторною) графікою.

Універсальним растровим графічним форматом є формат BMP. Графічні файли у цьому форматі мають великий інформаційний обсяг, оскільки у них зберігання інформації про колір кожного пікселя відводиться 24 біта.

У малюнках, збережених в універсальному растровому форматі GIF, можна використовувати лише 256 різних кольорів. Така палітра підходить для простих ілюстрацій та піктограм. Графічні файли цього формату мають невеликий інформаційний обсяг. Це особливо важливо для графіки, яка використовується у Всесвітньому павутинні, користувачам якої бажано, щоб інформація, яку вони запитують, з'явиться на екрані якнайшвидше.

Універсальний растровий формат JPEG розроблений спеціально для ефективного збереження фотографій якості. Сучасні комп'ютери забезпечують відтворення понад 16 мільйонів кольорів, більшість з яких людським оком просто невиразні. Формат JPEG дозволяє відкинути "надлишкове" для людського сприйняття різноманітність кольорів сусідніх пікселів. Частина вихідної інформації при цьому губиться, але це забезпечує зменшення інформаційного об'єму (стиснення) графічного файлу. Користувачеві надається можливість самому визначати ступінь стиснення файлу. Якщо зображення, що зберігається - фотографія, яку передбачається роздрукувати на аркуші великого формату, то втрати інформації небажані. Якщо ж цей фотознімок буде розміщений на Web-сторінці, то його можна сміливо стискати в десятки разів: інформації, що залишилася, буде достатньо для відтворення зображення на екрані монітора.

До універсальних векторних графічних форматів відноситься формат WMF, який використовується для зберігання колекції картинок Microsoft (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Універсальний формат EPS дозволяє зберігати інформацію як про растрову, так і про векторну графіку. Його часто використовують для імпорту двох файлів у програми підготовки поліграфічної продукції.

    2 Процес відкриття файлу в програмі, де він не був створений.

З власними форматами ви познайомитеся безпосередньо під час роботи з графічними програмами. Вони забезпечують найкраще співвідношення якості зображення та інформаційного об'єму файлу, але підтримуються (тобто розпізнаються і відтворюються) тільки самим додатком, що створює файл.

Завдання 1. Для кодування одного пікселя використовується 3 байти. Фотографію розміром 2048 х 1536 пікселів зберегли як несжатого файла. Визначте розмір файлу, що вийшов.

Рішення.

Відповідь: 9 Мб.

Завдання 2. Нестиснене растрове зображення розміром 128 х 128 пікселів займає 2 Кб пам'яті. Якою є максимально можлива кількість кольорів на панелі зображення?

Рішення.

Відповідь: 2 кольори - чорний та білий.

Найголовніше

Комп'ютерна графіка – це широке поняття, що означає: 1) різні видиграфічних об'єктів, створених чи оброблених за допомогою комп'ютерів; 2) сфера діяльності, в якій комп'ютери використовуються як інструменти створення та обробки графічних об'єктів.

Залежно від способу створення графічного зображення розрізняють растрову та векторну графіку.

У растрової графіці зображення формується у вигляді растру - сукупності точок (пікселів), що утворюють рядки та стовпці. При збереженні растрового зображення в пам'яті комп'ютера зберігається інформація про колір кожного пікселя, що входить до нього.

У векторній графіці зображення формуються з урахуванням наборів даних (векторів), що описують той чи інший графічний об'єкт, і їх побудови. При збереженні векторного зображення в пам'ять комп'ютера заноситься інформація про найпростіші геометричні об'єкти, що його складають.

Формат графічного файлу – це спосіб представлення графічних даних на зовнішньому носії. Розрізняють растрові та векторні формати графічних файлів, серед яких, у свою чергу, виділяють універсальні графічні формати та власні формати графічних програм.

Запитання та завдання

  1. Що таке комп'ютерна графіка?
  2. Перелічіть основні сфери застосування комп'ютерної графіки.
  3. Як може бути отримано цифрові графічні об'єкти?
  4. Сканується кольорове зображення розміром 10 х 15 см. Роздільна здатність сканера 600 х 600 dpi, глибина кольору - 3 байти. Який інформаційний обсяг матиме отриманий графічний файл?
  5. У чому різниця між растровим та векторним способами представлення зображення?
  6. Чому вважається, що растрові зображення дуже точно передають колір?
  7. Яка операція з перетворення растрового зображення веде до найбільших втрат його якості – зменшення чи збільшення? Як ви можете це пояснити?
  8. Чому масштабування не впливає на якість векторних зображень?
  9. Чим ви можете пояснити різноманітність форматів графічних файлів?
  10. У чому основна відмінність універсальних графічних форматів та власних форматів графічних програм?
  11. Побудуйте якнайповніший граф для понять п. 3.2.4.
  12. Дайте розгорнуту характеристику растрових та векторних зображень, вказавши в ній наступне:

      а) з яких елементів будується зображення;

      б) яка інформація про зображення зберігається у зовнішній пам'яті;

      в) як визначається розмір файлу, що містить графічне зображення;

      г) як змінюється якість зображення при масштабуванні;

      д) які основні переваги та недоліки растрових (векторних) зображень.

  13. Малюнок розміром 1024 х 512 пікселів зберегли як несжатого файла розміром 1,5 Мб. Яка кількість інформації була використана для кодування кольору пікселя? Якою є максимально можлива кількість кольорів на палітрі, що відповідає такій глибині кольору?
  14. Нестиснене растрове зображення розміром 256 х 128 пікселів займає 16 Кб пам'яті. Якою є максимально можлива кількість кольорів на панелі зображення?

Теорія графів- один із найширших розділів дискретної математики, широко застосовується у вирішенні економічних та управлінських завдань, у програмуванні, хімії, конструюванні та вивченні електричних ланцюгів, комунікації, психології, психології, соціології, лінгвістиці, інших галузях знань. Теорія графівсистематично і послідовно вивчає властивості графів, про які можна сказати, що вони складаються з множини точок і множини ліній, що відображають зв'язки між цими точками. Засновником теорії графів вважається Леонард Ейлер (1707-1882), який вирішив у 1736 році відому на той час завдання про кенігсберзькі мости.

Графи будуютьдля того, щоб відобразити відносини на множинах . Нехай, наприклад, безліч A = {a1 , a 2 , ... a n)- безліч людей, а кожен елемент буде відображено у вигляді точки. Безліч B = {b1 , b 2 , ... b m)- безліч зв'язок (прямих, дуг, відрізків - поки що не важливо). На безлічі Aзадано ставлення знайомства між людьми з цієї множини. Будуємо графз точок та зв'язок. Зв'язки пов'язуватимуть пари людей, знайомих між собою. Звичайно, кількість знайомих в одних людей може відрізнятися від числа знайомих в інших людей, а деякі цілком можуть і не бути ні з ким знайомі (такі елементи будуть точками, не з'єднаними з жодною іншою). Ось і вийшов граф!

Те, що ми спочатку назвали "точками", слід називати вершинами графа, а те, що називали "зв'язками" - ребрами графа.

Теорія графів не враховує конкретну природу множин Aі B. Існує велика кількість різних конкретних завдань, при вирішенні яких можна тимчасово забути про специфічний зміст множин і їх елементів. Ця специфіка ніяк не позначається під час вирішення завдання, незалежно від її проблеми! Наприклад, при вирішенні питання про те, чи можна з точки aдістатися до точки e, рухаючись тільки лініями, що з'єднують точки, неважливо, чи маємо ми справу з людьми, містами, числами і т.д. Але, коли завдання вирішене, ми отримуємо рішення, правильне для будь-якого змісту, що було змодельовано у вигляді графа. Не дивно тому, що теорія графів - один із найбільш затребуваних інструментів при створенні штучного інтелекту: адже штучний інтелект може обговорити зі співрозмовником і питання кохання, і питання музики чи спорту, і питання розв'язання різних завдань, причому робить це без переходу (перемикання) , без якого у подібних випадках не обійтися людині.

Нині ж суворі математичні визначення графа.

Визначення 1.Графом називаєтьсясистема об'єктів довільної природи (вершин) та зв'язок (ребер), що з'єднують деякі пари цих об'єктів.

Визначення 2.Нехай V- (Непорожня) безліч вершин, елементи v∈V- Вершини. Граф G = G(V) з безліччю вершин Vє деяке сімейство пар виду: e = (a, b) , де a,b∈V , що вказують, які вершини залишаються з'єднаними. Кожна пара e = (a, b) - Ребро графа. Безліч U- безліч ребер eграфа. Вершини aі b- Кінцеві точки ребра e .

Графи як структура даних.Широким застосуванням теорії графів у комп'ютерних науках та інформаційних технологійобумовлено додаванням до вищевикладених ухвал поняття графа як структури даних. У комп'ютерних науках та інформаційних технологіях граф визначається як нелінійна структура даних. Що ж тоді – лінійна структура даних і чим від них відрізняються графи? Лінійні структури даних характеризуються тим, що елементи зв'язують відносинами типу "простого сусідства". Лінійними структурами даних є, наприклад, масиви, таблиці, списки, черги, стеки, рядки. На противагу їм нелінійні структури даних - такі, у яких елементи розташовуються різних рівнях ієрархії і поділяються на три виду: вихідні, породжені і подібні. Отже, граф – нелінійна структура даних.

Слово граф грецького походження, від слів "пишу", "описую". З початку цієї статті відомо, що саме описує граф: він описує відносини. Тобто будь-який граф описує стосунки. І навпаки: будь-яке ставлення можна описати як графа.

Основні поняття теорії графів

Поняття інцидентності необхідне і при складанні алгоритмів розв'язання багатьох практичних завдань із графами. Наприклад, можна ознайомитись із програмною реалізацією обходу у глибину графа, представленого матрицею інцидентності. Ідея проста: можна рухатися лише через вершини, з'єднані ребрами. А якщо ребрам приписані якісь значення ( " ваги " , найчастіше як чисел, такі графи називаються зваженими чи позначеними), можна вирішувати складні прикладні завдання, деякі з яких згадані в завершальному параграфі цього уроку.

Класичні завдання теорії графів та їх вирішення

Один із перших опублікованих прикладів робіт з теорії графів та застосування графів - робота про "завдання з Кенігсберзькими мостами" (1736), автором якої є видатний математик 18-го століття Леонард Ейлер. У задачі дано річку, острови, які омиваються цією річкою, та кілька мостів. Питання задачі: чи можливо, вийшовши з певного пункту, пройти кожен міст лише по одному разу і повернутися до початкового пункту? (Рисунок нижче)

Завдання можна змоделювати так: до кожної ділянки суші прикріплюється одна точка, а дві точки з'єднуються лінією тоді і тільки тоді, коли відповідні ділянки суші з'єднані мостом (рисунок нижче, сполучні лінії накреслені пунктиром). Таким чином, збудовано граф.

Відповідь Ейлера питанням завдання у наступному. Якби у цього завдання було позитивне рішення, то в графі, що вийшов, існував би замкнутий шлях, що проходить по ребрах і містить кожне ребро тільки один раз. Якщо існує такий шлях, то кожна вершина повинна мати лише парну кількість ребер. Але в графі, що вийшов, є вершини, у яких непарне число ребер. Тому завдання немає позитивного рішення.

За усталеної традиції ейлеровим графом називається граф, у якому можна обійти всі вершини і навіть пройти одне ребро лише один раз. У ньому кожна вершина повинна мати лише парне число ребер. Завдання середньої проблеми на ейлерові графи - у матеріалі "Основні види графів".

У 1847 р. Кірхгоф розробив теорію дерев для вирішення спільної системи лінійних рівнянь алгебри, що дозволяє знайти значення сили струму в кожному провіднику (дузі) і в кожному контурі електричного ланцюга. Абстрагуючись від електричних схемі ланцюгів, які містять опори, конденсатори, індуктивності тощо, він розглядав відповідні комбінаторні структури, що містять тільки вершини та зв'язки (ребра чи дуги), причому для зв'язків не потрібно враховувати, яким типам електричних елементів вони відповідають. Таким чином, Кірхгоф замінив кожен електричний ланцюг відповідним графом і показав, що для вирішення системи рівнянь необов'язково розглядати окремо кожен цикл графа електричного кола.

Келі у 1858 р., займаючись суто практичними завданнями органічної хімії, відкрив важливий клас графів, які називають деревами. Він прагнув перерахувати ізомери насичених вуглеводнів, з цим числом атомів вуглецю. Келі перш за все сформулював завдання абстрактно: знайти число всіх дерев з pвершинами, кожне з яких має вершини зі ступенями 1 і 4. Йому не вдалося відразу вирішити це завдання, і він став змінювати її формулювання таким чином, щоб можна було вирішити нове завдання про перерахування:

  • кореневих дерев (у яких виділено одну з вершин);
  • всіх дерев;
  • дерев, у яких ступеня вершин не перевищують 4;
  • дерев, у яких ступеня вершин дорівнюють 1 і 4 (постановка задачі з хімії).

Завдання із графами для закріплення основних понять

приклад 1.Нехай A- безліч чисел 1, 2, 3: A= (1, 2, 3). Побудувати граф для відображення відносини

Рішення. Очевидно, що числа 1, 2, 3 слід подати у вигляді вершин графа. Тоді кожну пару вершин має з'єднувати одне ребро. Вирішуючи це завдання, ми дійшли таких основних понять теорії графів, як орієнтовані та неорієнтовані графи. Неорієнтовані графи - такі, ребра яких мали напрями. Або, як кажуть ще частіше, порядок двох кінців ребра не суттєвий. Насправді, граф, побудований на самому початку цього уроку і відображав ставлення знайомства між людьми, не потребує напрямів ребер, оскільки можна стверджувати, що "людина номер 1" знайомий з "людинам номер 2" так само, як і "людина номер 2" з "чоловіком номер 1". У нашому ж нинішньому прикладі одне число менше за інше, але не навпаки. Тому відповідне ребро графа повинно мати напрямок, що показує, яке все ж таки число менше іншого. Тобто порядок кінців ребра суттєвий. Такий граф (з ребрами, що мають напрямок) називається орієнтованим графом або орграфом.

Отже, у нашій множині Aчисло 1 менше від числа 2 і числа 3, а число 2 менше від числа 3. Цей факт відображаємо ребрами, що мають напрямок, що показується стрілками. Отримуємо наступний граф:

приклад 2.Нехай A- безліч чисел 2, 4, 6, 14: A= (2, 4, 6, 14). Постоїть граф для відображення відносини "ділиться націло на" на цій множині.

Рішення. У цьому прикладі частина ребер матимуть напрямок, а деякі не будуть, тобто будуємо змішаний граф. Перелічимо відносини на безлічі: 4 ділиться націло на 2, 6 ділиться націло на 2, 14 ділиться націло на 2, і ще кожне число з цієї множини ділиться націло на себе. Це відношення, тобто коли число ділиться націло на себе, будемо відображати у вигляді ребер, які з'єднують вершину саму з собою. Такі ребра називаються петлями. У разі немає необхідності давати напрямок петлі. Таким чином, у нашому прикладі три звичайних спрямованих ребра та чотири петлі. Отримуємо наступний граф:

приклад 3.Нехай дані безлічі A= (α, β, γ) та B= (a, b, c). Побудувати граф для відображення відносини "декартове твір множин".

Рішення. Як відомо з визначення декартова твори множин, в ньому немає впорядкованих наборів з елементів однієї й тієї ж множини. Тобто в нашому прикладі не можна поєднувати грецькі літери з грецькими та латинські з латинськими. Цей факт відображається у вигляді дводольного графатобто такого, в якому вершини розділені на дві частини так, що вершини, що належать одній і тій же частині, не з'єднані між собою. Отримуємо наступний граф:

приклад 4.В агентстві з нерухомості працюють менеджери Ігор, Сергій та Петро. Обслуговуються об'єкти О1, О2, О3, О4, О5, О6, О7, О8. Побудувати граф для відображення відносин "Ігор працює з об'єктами О4, О7", "Сергій працює з об'єктами О1, О2, О3, О5, О6", "Петр працює з об'єктом О8".

Рішення. Граф, який відображатиме дані відносини, буде так само дводольним, оскільки менеджер не працює з менеджером і об'єкт не працює з об'єктом. Проте, на відміну попереднього прикладу, граф буде орієнтованим. Справді, наприклад, Ігор працює з об'єктом О4, але з об'єкт О4 працює з Ігорем. Часто, коли така властивість відносин очевидна, необхідність давати ребрам напряму може здатися "математичною тупістю". Але все ж таки, і це випливає із суворого характеру математики, якщо відношення носить односторонній характер, то давати напрями ребрам потрібно. У додатках відносин ця строгість окупається, наприклад, у програмах, призначених для планування, де також застосовуються графи і маршрут по вершинах і ребрам повинен проходити строго в заданому напрямку. Отже, отримуємо наступний орієнтований дводольний граф:

І знову до прикладів із числами.

Приклад 5.Нехай задано безліч C = {2, 3, 5, 6, 15, 18} . Побудувати граф, що реалізує ставлення, що визначає всі пари чисел aі bз множини C, У яких при розподілі другого елемента на перший отримуємо приватне, яке є цілим числом більше 1.

Рішення. Граф, що відображає дані відносини, буде орієнтованим, оскільки в умові є згадка про другий і перший елемент, тобто ребро буде направлено від першого елемента до другого. З цього однозначно зрозуміло, який елемент є перим, а який другим. Ще додамо термінології: орієнтовані ребра прийнято називати дугами. У нашому графі буде 7 дуг: e1 = (3, 15) , e2 = (3, 18) , e3 = (5, 15) , e4 = (3, 6) , e5 = (2, 18) , e6 = (6, 18) , e7 = (2, 6) . У цьому прикладі ребра (дуги) графа просто пронумеровані, але порядкові номери не єдине, що можна приписати дузі. Дузі можна приписати також ваги, що означають, наприклад, вартість пересилання вантажу з одного пункту в інший. Але з вагами дуг ми познайомимося пізніше та докладніше. Отже, отримуємо наступний орієнтований граф:

Як ми вже знаємо з теоретичної вступної частини, теорія графів не враховує специфічну природу множин і за допомогою одного й того ж графа можна задати відносини на множинах з різним змістом. Тобто, від цього змісту при моделюванні завдання можна абстрагуватися. Перейдемо до прикладів, які ілюструють цю чудову властивість теорії графів.

Приклад 6.На шматочку шахової дошки розміром 3 Х 3 розміщені два білі коні і два чорні коні так, як показано на малюнку нижче.

Чи можна перемістити коней у стан, зображений на наступному малюнку, не забуваючи, що дві постаті що неспроможні перебувати однією клітині?

Рішення. У графі, що конструюється, пари вершин будуть пов'язані ставленням "хід коня". Тобто одна вершина - та, з якої кінь пішов, а інша - та, до якої прийшов, а проміжна клітина літери "г" буде за межами цього відношення. Отримуємо наступний граф:

І все ж конструкція вийшла громіздкою. У ній видно клітини шахівниці, а багато ребер графа перетинаються. Чи не можна абстрагуватися від фізичного вигляду шахівниці і уявити відносини простіше? Виявляється, можна. У новому графі сусідніми вершинами будуть ті, які пов'язані ставленням "хід коня", а не сусідні по шахівниці (рисунок нижче).

Тепер легко побачити, що відповідь на питання цього завдання – негативна. У початковому стані між двома білими кіньми немає чорного коня, а в кінцевому стані цей чорний кінь має бути. Ребра графа розміщені так, що два коня, що знаходяться поруч, не можуть перестрибнути один через одного.

Приклад 7.Завдання про вовка, козу і капусту. На одному березі річки знаходяться людина (Ч), човен, вовк (В), коза (Кз) та капуста (Кп). У човні одночасно можуть перебувати людина і не більше одного з об'єктів, що перевозяться. Людина повинна перевезти на інший берег усі об'єкти, дотримуючись умови: не можна залишати без нагляду вовка разом із козою та козу разом із капустою.

Рішення. У графі, що конструюється, вершини - конфігурації, а ребра - відношення "зв'язок одним плаванням човна" між конфігураціями. Конфігурація означає розташування об'єктів на початковому березі та протилежному березі. Кожна конфігурація відображається у вигляді ( A|B), де A- об'єкти, що знаходяться на первісному березі, а B- Об'єкти, що знаходяться на протилежному березі. Початкова конфігурація, таким чином, - (ПВКпКз| ) . Наприклад, після переправлення на інший берег кози конфігурація буде (ВКп|ЧКЗ) . Кінцева конфігурація завжди ( |ПВКпКз) . Тепер можемо побудувати граф, знаючи вже, що означають вершини та ребра:

Розмістимо вершини графа те щоб ребра не перетиналися, а сусідніми були вершини, пов'язані ставленням на графі. Тоді побачити стосунки буде набагато простіше (для збільшення малюнка клацніть по ньому лівою кнопкою миші):


Як бачимо, існують два різні безперервні маршрути з початкової конфігурації в кінцеву. Тому завдання має два різні рішення (і обидва правильні).

Теорія графів та найважливіші сучасні прикладні завдання

На основі теорії графів розроблено методи вирішення прикладних завдань, у яких у вигляді графів моделюються складні системи. У цих моделях вузли містять окремі компоненти, а ребра відображають зв'язок між компонентами. Зазвичай для моделювання транспортних мереж, систем масового обслуговування у мережевому плануванні використовуються зважені графи. Ми про них уже говорили, це графи, в яких дуги присвоєно ваги.

Графи-дерева застосовуються, наприклад, для побудови дерев рішень(служать для аналізу ризиків, аналізу можливих придбань та збитків за умов невизначеностей). Із застосуванням теорії графів розроблено та інші численні математичні моделіна вирішення завдань у конкретних предметних областях.

Графи та завдання про потоки

Постановка задачі. Є система водопровідних труб, представлена ​​графом малюнку нижче.

Кожна дуга графа відображає трубу. Числа над дугами (ваги) - пропускна спроможністьтруб. Вузли – місця з'єднання труб. Вода тече трубами тільки в одному напрямку. Вузол S- джерело води, вузол T- Стік. Потрібно максимізувати обсяг води, що протікає від джерела до стоку.

Для вирішення задачі про потоки можна скористатися методом Ford-Fulkerson. Ідея методу: пошук максимального потоку здійснюється кроками. На початку роботи алгоритму потік належить рівним нулю. На кожному наступному кроці значення потоку збільшується, навіщо шукається доповнює шлях, яким надходить додатковий потік. Ці кроки повторюються доти, доки існують додаткові шляхи. Завдання успішно застосовується у різних розподілених системах: система електропостачання, комунікаційна мережа, система залізниць та інших.

Графи та мережеве планування

У задачах планування складних процесів, що складаються з безлічі робіт, частина з яких виконується паралельно, а частина послідовно, широке застосування отримали зважені графи, відомі під назвою ПЕРТ мережі (PERT).

PERT - Program (Project) Evaluation and Review Technique - техніка оцінки та аналізу програм (проектів), що використовується під час управління проектами.

Мережа ПЕРТ - зважений ациклічний орієнтований граф, у якому кожна дуга представляє роботу (дія, операцію), а вага дуги - час, необхідне її виконання.

Якщо в мережі є дуги ( a, b) та ( b, c) , то робота, представлена ​​дугою ( a, b) , повинна бути завершена до початку виконання роботи, представленої дугою ( b, c). Кожна вершина ( vi)представляє момент часу, до якого мають бути завершені всі роботи, що задаються дугами, що закінчуються у вершині ( vi).

У такому графі:

  • одна вершина, яка не має попередників, визначає момент часу початку виконання робіт;
  • одна вершина, яка має послідовників, відповідає моменту часу завершення комплексу работ.

Шлях максимальної довжини між цими вершинами графа (з початку до кінця процесу виконання робіт), називається критичним шляхом. Для скорочення часу виконання всього комплексу робіт необхідно знайти роботи, що лежать на критичному шляху, та зменшити їх тривалість за рахунок, наприклад, залучення додаткових виконавців, механізмів, нових технологій.

Весь блок "Теорія графів"

Поняття графа доцільно вводити після того, як розібрано кілька завдань, подібних до завдання 1, вирішальне міркування в яких – графічне уявлення. Важливо, щоб учні відразу усвідомили, що той самий граф може бути намальований різними способами. Суворе визначення графа, мій погляд, давати не треба, т.к. воно надто громіздке і це тільки ускладнить обговорення. Спочатку вистачить і інтуїтивного поняття. При обговоренні поняття ізоморфізму можна вирішити кілька вправ визначення ізоморфних і неізоморфних графів. Одне з центральних місць теми – теорема про парність числа непарних вершин. Важливо, щоб учні до кінця розібралися у її доказі та навчилися застосовувати до вирішення завдань. При розборі кількох завдань рекомендую не посилатися теорему, а фактично повторювати її доказ. Надзвичайно важливим є також поняття зв'язності графа. Змістовним міркуванням тут розгляд компоненти зв'язності, цього необхідно звернути особливу увагу. Ейлерові графи – тема майже ігрова.

Перша і головна мета, яку слід переслідувати щодо графів, –навчити школярів бачити граф за умови завдання і грамотно перекладати умову на мову теорії графів. Не варто розповідати обидві всім на кількох заняттях поспіль. Краще рознести заняття за часом на 2–3 навчальні роки. (Додається розробка заняття "Поняття графа. Застосування графів до вирішення завдань" у 6 класі).

2. Теоретичний матеріал до теми "Графи".

Вступ

Графи – чудові математичні об'єкти, з допомогою можна вирішувати дуже багато різних, зовні не схожих друг на друга завдань. У математиці існує цілий розділ - теорія графів, який вивчає графи, їх властивості та застосування. Ми ж обговоримо лише основні поняття, властивості графів і деякі способи вирішення завдань.

Поняття графа

Розглянемо дві задачі.

Завдання 1. Між дев'ятьма планетами сонячної системи встановлено космічне сполучення. Рейсові ракети літають наступними маршрутами: Земля - ​​Меркурій; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурій; Меркурій – Відні; Уран - Нептун; Нептун - Сатурн; Сатурн - Юпітер; Юпітер – Марс та Марс – Уран. Чи можна долетіти на рейсових ракетах із Землі до Марса?

Рішення:Намалюємо схему умови: планети зобразимо точками, а маршрути ракет – лініями.

Тепер одразу видно, що долетіти із Землі до Марса не можна.

Завдання 2. Дошка має форму подвійного хреста, який виходить, якщо із квадрата 4x4 прибрати кутові клітини.

Чи можна обійти її ходом шахового коня і повернутись на вихідну клітку, побувавши на всіх клітинах рівно по одному разу?

Рішення:Занумеруємо послідовно клітини дошки:

А тепер за допомогою малюнка покажемо, що такий обхід таблиці, як зазначено в умові, може бути:

Ми розглянули два несхожі завдання. Проте вирішення цих двох завдань поєднує загальна ідея – графічне уявлення рішення. При цьому і картинки, намальовані для кожного завдання, виявились схожими: кожна картинка – це кілька точок, деякі з яких з'єднані лініями.

Такі картинки і називаються графами. Крапки при цьому називаються вершинами, а лінії – ребрамиграфа. Зауважимо, що не кожна картинка такого виду називатиметься графом. Наприклад. якщо вас попросять намалювати у зошиті п'ятикутник, то такий малюнок графом не буде. Будемо називати що малюнок такого виду, як у попередніх завданнях, графом, якщо є якесь конкретне завдання, для якого такий малюнок побудований.

Інше зауваження стосується виду графа. Спробуйте перевірити, що граф для однієї і тієї ж задачі можна намалювати різними способами; і навпаки для різних завдань можна намалювати однакові на вигляд графи. Тут важливо лише те, які вершини з'єднані одна з одною, а які – ні. Наприклад, граф для задачі 1 можна намалювати по-іншому:

Такі однакові, але по-різному намальовані графи називаються ізоморфними.

Ступені вершин та підрахунок числа ребер графа

Запишемо ще одне визначення: Ступенем вершини графа називається кількість ребер, що виходять з неї. У зв'язку з цим вершина, що має парний ступінь, називається парною вершиною, відповідно, вершина, що має непарний ступінь, називається непарною вершиною.

З поняттям ступеня вершини пов'язана одна з основних теорем теорії графів - теорема про чесність числа непарних вершин. Доведемо її трохи пізніше, а спочатку для ілюстрації розглянемо завдання.

Завдання 3. У місті Маленькому 15 телефонів. Чи можна їх з'єднати проводами так, щоб кожен телефон був з'єднаний з п'ятьма іншими?

Рішення:Припустимо, що таке з'єднання телефонів можливо. Тоді уявімо собі граф, у якому вершини позначають телефони, а ребра – дроти, що їх з'єднують. Підрахуємо, скільки всього вийде дротів. До кожного телефону підключено 5 проводів, тобто. ступінь кожної вершини нашого графа – 5. Щоб знайти число проводів, треба підсумувати ступеня всіх вершин графа і отриманий результат розділити на 2 (бо кожен провід має два кінці, то при підсумовуванні ступенів кожен провід буде взято 2 рази). Але тоді кількість проводів вийде різною. Але це число не ціле. Значить, припущення про те, що можна з'єднати кожен телефон рівно з п'ятьма іншими, виявилося неправильним.

Відповідь.Таким чином неможливо з'єднати телефони.

Теорема: Будь-який граф містить парне число непарних вершин.

Доведення:Кількість ребер графа дорівнює половині суми ступенів його вершин. Оскільки кількість ребер має бути цілим числом, то сума ступенів вершин має бути парною. А це можливо лише в тому випадку, якщо граф містить парне число непарних вершин.

Зв'язок графа

Є ще одне важливе поняття, що стосується графів – поняття зв'язності.

Граф називається зв'язковим,якщо з будь-які дві його вершини можна з'єднати шляхом,тобто. безперервною послідовністю ребер. Існує ціла низка завдань, вирішення яких засноване на понятті зв'язності графа.

Завдання 4. У країні Сімка 15 міст, кожне з міст з'єднане дорогами не менше, ніж з сімома іншими. Доведіть, що з кожного міста модно дістатися будь-якої іншої.

Доведення: Розглянемо два довільні А і В міста і припустимо, що між ними немає шляху Кожен з них з'єднаний дорогами не менше, ніж з сімома іншими, причому немає такого міста, яке було б з'єднане з обома розглянутими містами (інакше існував би шлях з A до B). Намалюємо частину графа, що відповідає цим містам:

Тепер очевидно, що ми отримали щонайменше різних 16 міст, що суперечить умові завдання. Отже, твердження доведене від протилежного.

Якщо взяти до уваги попереднє визначення, то затвердження завдання можна переформулювати і по-іншому: "Довести, що граф доріг країни Семерка зв'язаний".

Тепер ви знаєте, як виглядає зв'язковий граф. Незв'язний граф має вигляд кількох “шматків”, кожен із яких – чи окрема вершина без ребер, чи зв'язковий граф. Приклад незв'язного графа ви бачите малюнку:

Кожен такий окремий шматок називається компонентом зв'язності графа.Кожна компонента зв'язності є зв'язковим графом і для неї виконуються всі твердження, які ми довели для зв'язкових графів. Розглянемо приклад задачі, в якій використовується компонент зв'язності:

Завдання 5. У Тридев'ятому царстві лише один вид транспорту – килим-літак. Зі столиці виходить 21 ковролінія, з міста Далекий – одна, а з решти міст, – по 20. Доведіть, що зі столиці можна долетіти до міста Далекого.

Доведення:Зрозуміло, якщо намалювати граф ковроліній Царства, він може бути нескладним. Розглянемо компоненту зв'язності, що включає столицю Царства. Зі столиці виходить 21 ковролінія, а з будь-яких інших міст, крім міста Далекий – по 20, тому, щоб виконувався закон про парне число непарних вершин необхідно, щоб і місто Далеке входило в цю ж саму компоненту зв'язності. Оскільки компонента зв'язності – зв'язковий граф, то зі столиці існує шлях по ковролініям до міста Далекий, що й вимагалося довести.

Графи Ейлера

Ви, напевно, стикалися з завданнями, в яких потрібно намалювати будь-яку фігуру, не відриваючи олівець від паперу і проводячи кожну лінію лише один раз. Виявляється, що таке завдання не завжди можна розв'язати, тобто. існують фігури, які вказаним способом намалювати не можна. Питання розв'язності таких завдань також належить до теорії графів. Вперше його досліджував у 1736 році великий німецький математик Леонард Ейлер, вирішуючи завдання про Кенігсберзькі мости. Тому графи, які можна намалювати вказаним способом, називаються графами Ейлера.

Завдання 6. Чи можна намалювати зображений на малюнку граф не відриваючи олівець від паперу та проводячи кожне ребро рівно один раз?

Рішення.Якщо ми малюватимемо граф так, як сказано в умові, то в кожну вершину, крім початкової та кінцевої, ми увійдемо стільки ж разів, скільки вийдемо з неї. Тобто всі вершини графа, крім двох, мають бути парними. У нашому ж графі є три непарні вершини, тому його не можна намалювати вказаним за умови способом.

Зараз ми довели теорему про Ейлерові графи:

Теорема: Ейлерів граф повинен мати не більше двох непарних вершин

І насамкінець – завдання про Кенігсберзькі мости.

Завдання 7. На малюнку зображено схему мостів міста Кенігсберга.

Чи можна прогулятися так, щоб пройти по кожному мосту рівно 1 раз?

3. Завдання до теми "Графи"

Концепція графа.

1. На квадратній дошці 3x3 розставлено 4 коня так, як показано на рис.1. Чи можна зробивши кілька ходів кіньми, переставити в положення, показане на рис.2?

Рис. 1

Рис. 2

Рішення.Занумеруємо клітини дошки, як показано на малюнку:

Кожній клітині поставимо у відповідність точку на площині і, якщо з однієї клітини можна потрапити в іншу ходом шахового коня, відповідні точки з'єднаємо лінією. Вихідна та необхідна розстановка коней показана на малюнках:

При будь-якій послідовності ходів конями порядок їхнього прямування, очевидно, змінитися не може. Тому переставити коней необхідним чином неможливо.

2. У країні Цифра є 9 міст з назвами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Мандрівник виявив, що два міста з'єднані авіалінією в тому і лише в тому випадку, якщо двозначне число, утворене назвами міст, ділиться на 3. Чи можна долетіти повітрям з міста 1 до міста 9 ?

Рішення.Поставивши у відповідність кожному місту точку і з'єднавши точки лінією, якщо сума цифр ділиться на 3, отримаємо граф, у якому цифри 3, 5, 9 пов'язані між собою, але з іншими. Значить долетіти з міста 1 до міста 9 не можна.

Ступені вершин та підрахунок числа ребер.

3. У державі 100 міст до кожного міста виходить 4 дороги. Скільки всього доріг у державі.

Рішення.Підрахуємо загальну кількість вихідних міст доріг – 100 . 4 = 400. Однак за такого підрахунку кожна дорога порахована 2 рази – вона виходить з одного міста і входить до іншого. Отже всього доріг вдвічі менше, тобто. 200.

4. У класі 30 осіб. Чи може бути так, що 9 осіб мають по 3 друзі, 11 – по 4 друзі, а 10 – по 5 друзів?

Відповідь.Ні (теорема про парність числа непарних вершин).

5. У короля 19 васалів. Чи може бути так, що у кожного васала 1, 5 чи 9 сусідів?

Відповідь.Ні не може.

6. Чи може в державі, в якій з кожного міста виходить рівно 3 дороги, бути рівно 100 доріг?

Рішення. Підрахуємо кількість міст. Число доріг дорівнює числу міст х, помноженому на 3 (кількість доріг, що виходять з кожного міста) і розділеному на 2 (див. задачу 3). Тоді 100 = Зх / 2 => Зх = 200, чого не може бути при натуральному х. Отже, 100 доріг у такій державі бути не може.

7. Доведіть, що кількість людей, які коли-небудь жили на Землі і зробили непарну кількість рукостискань, парна.

Доказ безпосередньо випливає з теореми парності числа непарних вершин графа.

Зв'язність.

8. У країні з кожного міста виходить 100 доріг і з кожного міста можна дістатися будь-якого іншого. Одну дорогу закрили на ремонт. Доведіть, що й тепер із будь-якого міста можна дістатися будь-якого іншого.

Доведення. Розглянемо компоненту зв'язності, до якого входить одне з міст, дорогу між якими закрили. По теоремі парності числа непарних вершин до неї входить і друге місто. А отже, як і раніше, можна знайти маршрут і дістатися з одного з цих міст до іншого.

Графи Ейлер.

9. Є група островів, з'єднаних мостами отже кожного острова можна дістатися будь-якого іншого. Турист обійшов усі острови, пройшовши по кожному мосту по-різному 1 раз. На Троєкратному острові він побував тричі. Скільки мостів веде з Троєразового, якщо турист

а) чи не з нього почав і не на ньому закінчив?
б) із нього почав, але не на ньому закінчив?
в) з нього почав та на ньому закінчив?

10. На малюнку зображено парк, розділений на кілька частин огорожами. Чи можна прогулятися парком та його околицями так, щоб перелізти через кожен паркан по-різному 1 раз?

Формат графічного файлу – це спосіб представлення графічних даних на зовнішньому носії. Розрізняють растрові та векторні формати графічних файлів, серед яких, у свою чергу, виділяють універсальні графічні формати та власні (оригінальні) формати графічних додатків.

Універсальні графічні формати «розуміються» всіма програмами, що працюють з растровою (векторною) графікою.

Універсальним растровим графічним форматом є формат ВМР. Графічні файли у цьому форматі мають великий інформаційний обсяг, оскільки у них зберігання інформації про колір кожного пікселя відводиться 24 біта.

У малюнках, збережених в універсальному растровому форматі GIF, можна використовувати лише 256 різних кольорів. Така палітра підходить для простих ілюстрацій та піктограм. Графічні файли цього формату мають невеликий інформаційний обсяг. Це особливо важливо для графіки, що використовується у Всесвітньому павутинні,

користувачам якої бажано, щоб запитана ними інформація з'явилася на екрані якнайшвидше.

Універсальний растровий формат JPEG розроблений спеціально для ефективного зберігання зображень фотографічної якості. Сучасні комп'ютери забезпечують відтворення понад 16 мільйонів кольорів, більшість з яких людським оком простим є невиразними. Формат JPEG дозволяє відкинути "надлишкове" для людського сприйняття різноманітність кольорів сусідніх пікселів. Частина вихідної інформації при цьому губиться, але це забезпечує зменшення інформаційного об'єму (стиснення) графічного файлу. Користувачеві надається можливість самому визначати ступінь стиснення файлу. Якщо зображення, що зберігається - фотографія, яку передбачається роздрукувати на аркуші великого формату, то втрати інформації небажані. Якщо ж цей фотознімок буде розміщений на ХІЬ-сторінці, то його можна сміливо стискати в десятки разів: інформації, що залишилася, буде достатньо для відтворення зображення на екрані монітора.


До універсальних векторних графічних форматів відноситься формат WMF, який використовується для зберігання колекції картинок Microsoft (http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart).

Універсальний формат EPS дозволяє зберігати інформацію як про растрову, так і про векторну графіку. Його часто використовують для імпорту! файлів у програмі підготовки поліграфічної продукції.

З власними форматами ви познайомитеся безпосередньо під час роботи з графічними програмами. Вони забезпечують найкраще співвідношення якості зображення та інформаційного об'єму файлу, але підтримуються (тобто розпізнаються і відтворюються) тільки самим додатком, що створює файл.



Завдання 1. Для кодування одного пікселя використовується З байта. Фотографію розміром 2048х1536 пікселів зберегли у вигляді стисненого файлу. Визначте розмір файлу, що вийшов. Рішення.

I-k.i i-I/k

i-2. 1024 8 / (128. 128) =

2 2 10 2 3 /(2 7 2 7) = 2 1 + 10 + 3 /2 7 + 7 2 14 /2 14 = 1 (біт). ЛГ-21-2.

Відповідь: 2 кольори - чорний та білий.

НАЙГОЛОВНІШЕ

p align="justify"> Комп'ютерна графіка - це широке поняття, що позначає: 1) різні види графічних об'єктів, створених або оброблених за допомогою комп'ютерів; 2) сфера діяльності, в якій комп'ютери використовуються як інструменти створення та обробки графічних об'єктів.

Залежно від способу створення графічного зображення розрізняють растрову та векторну графіку.

У растрової графіці зображення формується у вигляді растру сукупності точок (пікселів), що утворюють рядки та стовпці. При збереженні растрового зображення в пам'яті комп'ютера зберігається інформація про колір кожного пікселя, що входить до нього.

У векторній графіці зображення формуються з урахуванням наборів даних (векторів), що описують той чи інший графічний об'єкт, і їх побудови. При збереженні векторного зображення в пам'ять комп'ютера заноситься інформація про найпростіші геометричні об'єкти, що його складають.

Формат графічного файлу – це спосіб представлення графічних даних на зовнішньому носії. Розрізняють растрові та векторні формати графічних файлів, серед яких, у свою чергу, виділяють універсальні графічні формати та власні формати графічних програм.



а Питання та завдання

1. Що таке комп'ютерна графіка?

2. Перерахуйте основні сфери застосування комп'ютерної графіки.


З. Як може бути отримано цифрові графічні об'єкти?

4. Сканується кольорове зображення розміром 10 х 15 см. Роздільна здатність сканера 600 х 600 dpi, глибина кольору - З байта. Який інформаційний обсяг матиме отриманий графічний файл?

5. У чому різниця між растровим та векторним способами представлення зображення?

б. Чому вважається, що растрові зображення дуже точно передають колір?

7. Яка операція з перетворення растрового зображення веде до найбільших втрат його якості – зменшення чи збільшення? Як ви можете це пояснити?

8. Чому масштабування не впливає на якість векторних зображень?

9. Чим ви можете пояснити різноманітність форматів графічних файлів?

Комп'ютерна графіка

10. У чому основна відмінність універсальних графічних форматів та власних форматів графічних програм?

11. Побудуйте якнайповніший граф для понять п. 3.2.4.

12. Дайте розгорнуту характеристику растрових та векторних зображень, вказавши в ній:

а) з яких елементів будується зображення;

б) яка інформація про зображення зберігається у зовнішній пам'яті;

в) як визначається розмір файлу, що містить графічне зображення;

г) як змінюється якість зображення при масштабуванні;

д) які основні переваги та недоліки растрових (векторних) зображень.

13. Малюнок розміром 1024 х 512 пікселів зберегли як несжатого файла розміром 1,5 Мб. Яка кількість інформації була використана для кодування кольору пікселя? Якою є максимально можлива кількість кольорів на палітрі, що відповідає такій глибині кольору?

14. Нестиснене растрове зображення розміром 256 х 128 пікселів займає 16 Кб пам'яті. Якою є максимально можлива кількість кольорів на панелі зображення?